Operaciones en cantidades vectoriales
Para el estudio y análisis de los conceptos físicos, se dividen las cantidades físicas en escalares y vectoriales. Una cantidad física escalar es aquella que solamente se indica con una magnitud, que representa una determinada cantidad; mientras que la cantidad física vectorial es aquella definida mediante una magnitud, pero también mediante una dirección. Esto le da la propiedad de “vector”. El vector puede ser representado por una flecha, asociando la longitud a la magnitud de la cantidad y la inclinación (ángulo respecto a una línea de referencia) a la dirección, como se muestra en la siguiente figura:
Algunos ejemplos de cantidades físicas escalares son: masa, tiempo, distancia, rapidez, corriente eléctrica, energía, densidad, potencia; y algunos ejemplos de cantidades físicas vectoriales son: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, impulso, cantidad de movimiento.
Las operaciones más comunes con vectores son las siguientes:
- Suma y resta de vectores
- Multiplicación de un vector por un escalar
- División de un vector entre un escalar
La herramienta matemática para el estudio y análisis de estas cantidades son la Aritmética, el Álgebra, la Geometría, y en particular la Trigonometría, resaltando el empleo de las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
Las funciones trigonométricas se definen a continuación:
El teorema de Pitágoras se expresa como sigue: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
(hipotenusa)2 = (cateto opuesto)2 + (cateto adyacente)2
EJERCICIOS:
1 Encuéntrense las
componentes horizontal y vertical de los siguientes vectores: a) Una fuerza de
600 N dirigida a 41° SE. b) Un desplazamiento de 520 m a 110° a partir del eje
X (+). R: 453 N y –394 N, -178 m y 489 m.
2 Encuéntrense las
componentes X e Y de los siguientes vectores: a) 420 N a 35° NO, b) 140
Km/h a 180°, c) 720 m a 225°.
3 Encuéntrense las
componentes X e Y de un desplazamiento de 25 m a un ángulo de
210º. R: -21.7 m , -12.5 m
4 Calcular las componentes X
e Y de una fuerza de 1000 N en un ángulo de 130º con respecto al eje X.
5 Se requiere un empuje
hacia arriba de 80 N para levantar una hoja de ventana. ¿Qué fuerza a lo largo
de una palanca con un ángulo de 34° con la pared se requiere para levantar la
hoja de la ventana? R: 96.5 N.
6 Un equipo de topógrafos traza los
desplazamientos sucesivos de A = 90 m a 60°, B = 45 m a 0° , C = 20 m a
320°. Encuéntrese el desplazamiento resultante
7 Un cable arrastra un
carro de una mina con una fuerza de 120 N en una dirección de 37º sobre
la horizontal. Encuentre las componentes de esta fuerza. R: 95.84 N
, 72.22 N.
8 Calcular las componentes
horizontal y vertical de los siguientes vectores: (trace los vectores)
a) A = 300 N
, q = 85º
b) B = 600 m
, q = 126º
c) C = 80
KgF, q = 165º
9 Una fuerza de 50 N
ejerce presión sobre el plano XY en un ángulo de 40º. Encuentre sus componentes
X e Y. Repita el ejercicio para ángulos de 200 y
310º. R: 38.3 N,
32.1 N ; -47.0 N -17.1 N ; 32.1 N, -38.3 N.
10 Determine la
resultante de las fuerzas de la siguiente figura. De el ángulo en el sentido
contrario a las manecillas del reloj desde el eje X +.ESPACIO PARA DIAGRAMA
11 Un objeto pasa por los
siguientes desplazamientos sucesivos en el plano XY:25 cm en q = 0° y 45 cm en q = 110º. Calcule el desplazamiento resultante. R:
43.4 cm a 77.2º
12 Encuéntrese la resultante
de las siguientes fuerzas perpendiculares: a) A = 200 N , 0º
B = 345 N,
270º, C = 890 N, 90º ; b) A = 673 KgF, 180º, B = 492 KgF , 90º.
13 Una cadena se enrolla
alrededor de la defensa de un automóvil y fuerzas de 400 N y 280 N se
ejercen en ángulo recto una con respecto a la otra. ¿Cuál es la magnitud de la
fuerza resultante? R: 488.26 N
14 Tres fuerzas tienen sus
componentes verticales y horizontales según se indica:
FUERZA
|
X
|
Y
|
A
|
20 N
|
5 N
|
B
|
20 N
|
25 N
|
C
|
15 N
|
15 N
|
A) ¿Qué fuerza forma un ángulo mayor de 45° con la
horizontal?
B) ¿Qué fuerza forma un ángulo de 45° con la
horizontal?
C) ¿Cuál es la componente horizontal de la resultante
de estas fuerzas?
D) ¿Cuál es la componente vertical de la resultante de
estas fuerzas?
E) Escriba una ecuación matemática que sirva para
calcular la magnitud de la resultante
F) Escriba una expresión trigonométrica a partir de la
cual se pueda encontrar la dirección de la resultante
15 Dos fuerzas F1 y F2
actúan sobre un objeto. La fuerza F1 es de 40 N y se dirige a lo largo
del eje de las Y (+) . La resultante de las dos fuerzas , R es de 27 N y se
dirige a lo largo del eje de las X (+), ¿Cuál es la magnitud y dirección de F2?
16.Tres barcas ejercen
fuerzas en un gancho de amarre. ¿Cuál es la fuerza resultante en el gancho si
la barca A ejerce una fuerza de 420 N. la barca B ejerce una fuerza de 150 N y
la barca C ejerce una fuerza de 500 N ? Ver figura. R: 853 N,
101.7º (-78.29°) ESPACIO PARA DIAGRAMA
17 Partiendo del origen de
coordenadas, se realizan los siguientes desplazamientos en el plano XY: 70 mm
en dirección +Y, 35 mm en dirección -X, 56 mm a 150º y 90 mm a 240º. Calcular
el desplazamiento resultante.
18 El ángulo entre dos
vectores A y B es de 37°. El vector A tiene una magnitud de 8.0 unidades. El
vector C = B – A es perpendicular a A y tiene una magnitud de 6.0 unidades.
Encontrar la magnitud del vector B y del vector D = A + B
19 Calcular la resultante y
la equilibrante de las siguientes fuerzas coplanares: 200 N a 0º, 140 N a 30º y
430 N a 150º.
20 La componente X de un
desplazamiento es de 450 m. Calcular el desplazamiento si éste forma un ángulo
de 70º con dicha componente. ¿Cuál es el valor de la componente Y?
